Potenciação

A potenciação pode ser entendida como uma multiplicação de fatores iguais. Veja:

·   (-3)² = (-3) . (-3) = +9

·   (-5)³ = (-5) . (-5) . (-5) = -125

·  (-10)⁴ = (-10) . (-10) . (-10) . (-10) = 10.000

Também para os números inteiros convencionamos que:

·  Se o expoente é 1, a potência é igual a própria base.

(+8)¹ = +8                                        (-30)¹ = -30

·  Se o expoente é zero e a base é diferente de zero, a potência é igual a 1.

(+9)⁰ = 1                                          (-15)⁰ = 1

·  Se a base é zero e o expoente é diferente de zero, a potência é igual a zero.

(0)^-3 = 0                                            (0)² = 0

Quanto ao sinal da potência (de base diferente de zero), vamos considerar dois casos:

O expoente é um número par.

(+4)² = (+4) . (+4) = +16

(-4)² = (-4) . (-4) = +16

(-3)⁴ = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = +81

(-1)⁶ = (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) . (-1) = +1

O expoente é um número ímpar.

(+2)³ = (+2) . (+2) . (+2) = +8

(-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8

(-3)⁵ = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = -243

(+1)⁵ = (+1) . (+1) . (+1) . (+1) . (+1) = +1

Propriedades da Potenciação

Vejamos, a seguir, as propriedades da potenciação no conjunto Z:

·  Produto de potências de mesma base.

Exemplos:

1) (+5)³ . (+5)⁶ = (+5)^{3 + 6} = (+5)⁺⁹

2) (-2)⁴ . (-2)⁶ . (-2)⁵ = (-2)^{4 + 6 + 5} = (-2)¹⁵

·  Quociente de potências de mesma base.

Exemplos:

1) (+6)⁵ : (+6)² = (+6)^{5 – 2} = (+6)³

2) (-10)⁸ : (-10)³ = (-10)^{8 – 3} = (-10)⁵

·  Potência de uma potência.

Exemplos:

1) [(+10)²]⁵ = (+10)^{2 . 5} = (+10)¹⁰

2) [(-8)³]² = (-8)^{3 . 2} = (-8)⁶

·  Potência de um produto (ou de um quociente).

Exemplos:

1) [(+6) . (-5)]² = (+6)² . (-5)²

2) [(-10) : (+2)]³ = (-10)³ : (+2)³

Observação:

As expressões (-2)² e -2² são diferentes.

(-2)² representa o quadrado do número -2 e (-2)² = (-2) . (-2) = +4.

-2² representa o oposto do quadrado do número 2 e -2² = - (2 . 2 ) = -4

Atividades

1) Indique qual é a base e qual é o expoente:

a) (+25)⁶

b) (-8)⁰

c) 5³¹

d) (-3)¹⁰⁰

e) (-1)²⁰⁰

2) Calcule as potências:

a) (+9)² =

b) (-2)⁵ =

c) (-13)⁰ =

d) (+4)² =

e) (-7)¹ =

f) (+5)³ =

3) Construa uma reta numerada e nela localize os pontos da tabela.

Ponto	A	B	C	D	E	F	G
Abscissa	2 x (-3)	(-3)2	(-2)3	-(3)2	-(2)3	(-3) x 2	(-3)2 + (-2)3

4) Reduza a uma só potência:

a) (-8)⁵ . (-8) . (-8)⁴ =

b) [(+2)⁶]² =

c) (-10)⁹ : (-10)⁶ =

d) (+9) . (+9)¹¹ . (+9)⁸ =

e) (+20) ⁷ : (+20)⁶ =

f) [(+7)⁴]³ =

ANDRINI, Álvaro; ZAMPIROLO, Maria José C. de Vasconcellos. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2006.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI Benedito; JUNIOR, José Ruy Giovanni. A Conquista da Matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002.